Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції

Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 340(рис.29), а при а = 2, =470.

у у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340 до 470. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459 . 0

Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450.

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х0 дорівнює =1. Отже, .

Знайдемо тепер формулу похідної функції .

Нехай аргумент х0 одержав приріст , тоді:

1)

2)

3) .

Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції:

Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

.

Отже,

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 5х; б) у = е3-2х; в) ; г) .

Розв’язання

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Виконання вправ.

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).

ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції

Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .

Звідси .

Отже,

Знайдемо похідну функції . Так як , то

.

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) ; б) ;

Рекомендуємо почитати:

Вимоги до вчителя, що бажає працювати з комп’ютерним забезпеченням
Сучасний учитель - різнобічно розвинена людина, яка володіє високим рівнем самопізнання i здатністю до саморозвитку, з яскраво вираженим почуттям особистої відповідальності, уміє самоактуал ...

Прояви адаптації до шкільного навчання у дітей з порушеннями мовлення
Зі вступом дитини до школи наступає абсолютно новий етап її життя і до цього етапу вона повинна бути достатньо підготовленою. Раніше за все‚ повинні бути готові виконувати серйозну діяльніс ...

Дидактичні передумови організації самостійної роботи у класі
Проблема розвитку самостійності розглядалась у широкому значенні і пов’язувалась з завданнями раціоналізації та інтенсифікації занять, з плануванням та врахуванням у шкільній роботі, із збу ...