Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута
приблизно дорівнює 340(рис.29), а при а = 2,
=470.
у у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340 до 470. Отже, існує таке значення
, при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення
прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459 .
0
Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450.
У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х0 дорівнює
=1. Отже,
.
Знайдемо тепер формулу похідної функції .
Нехай аргумент х0 одержав приріст , тоді:
1)
2)
3) .
Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції:
Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
.
Отже,
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а) у = 5х; б) у = е3-2х; в) ; г)
.
Розв’язання
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Виконання вправ.
№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю:
для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або
.
Звідси .
Отже,
Знайдемо похідну функції . Так як
, то
.
Отже,
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а) ; б)
;
Рекомендуємо почитати:
Вимоги до вчителя, що бажає працювати з комп’ютерним забезпеченням
Сучасний учитель - різнобічно розвинена людина, яка володіє високим рівнем самопізнання i здатністю до саморозвитку, з яскраво вираженим почуттям особистої відповідальності, уміє самоактуал ...
Прояви адаптації до шкільного навчання у дітей з порушеннями мовлення
Зі вступом дитини до школи наступає абсолютно новий етап її життя і до цього етапу вона повинна бути достатньо підготовленою. Раніше за все‚ повинні бути готові виконувати серйозну діяльніс ...
Дидактичні передумови організації самостійної
роботи у класі
Проблема розвитку самостійності розглядалась у широкому значенні і пов’язувалась з завданнями раціоналізації та інтенсифікації занять, з плануванням та врахуванням у шкільній роботі, із збу ...
У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>