Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Рекомендуємо почитати:

Чисельні методи інтегрування
Метод прямокутників Нехай є відрізок і нам треба обчислити визначений інтеграл (2.1 1) за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4) (2.1 2) де - деякі ...

Характеристика хімічних виробництв
Хімічна промисловість має дуже складну галузеву структуру, що охоплює близько 200 взаємопов'язаних виробництв з великою номенклатурою продукції. Ці виробництва об'єднані у три великі групи: ...

Аналіз наукових підходів самостійної роботи студентів у ВНЗ 3-4 рівнів акредитації
Вища освіта України завжди була дуже високої якості. Такою вона залишається і сьогодні. Випускники ВНЗ України, особливо фізико-математичного, медичного, авіаційного, морського, інженерно-т ...