Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Рекомендуємо почитати:

Вимоги до випускників 12-річної школи
Модернізація шкільної освіти у 12-річній школі обговорюється нині на основі компетентнісного підходу, що розглядається як давно назріла альтернатива традиційній знаннєвій парадигмі. Відомо, ...

Методика навчання письма ліворуких дітей
З приходом до школи шестирічних дітей питання щодо навчання письма ліворуких дітей викликало великий інтерес. Вчителі все більше і більше переконуються, що перенавчання малят згубне для їх ...

Розробка ігор для розвитку мовленнєвої діяльності першокласників
Всім відомо, що саме процес читання на початковій його стадії - надзвичайно важкий для дітей, особливо з тяжкими вадами мовлення, потребує від них значних розумових зусиль. А використання г ...