Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Рекомендуємо почитати:

Психологічно-педагогічні особливості організації колективної учбової діяльності молодших школярів
Для розгляду питання про місце в навчальному процесі колективної учбової діяльності молодших школярів і можливості оптимального використання її форм в рамках уроку необхідно дослідити психо ...

Роль соціального педагога у реалізації прав дитини
Соціально-педагогічна діяльність повинна бути мистецтвом та конструктивною наукою, У вітчизняній літературі технології соціальної роботи трактуються як сукупність прийомів, методів та вплив ...

Усвідомлення модерністської літератури крізь призму читацького сприйняття
З давніх часів вважалося, що людська особистість має три взаємопов’язані складові - тіло, розум і душу. Для гармонійного розвитку потрібно задовольняти вимоги кожного з них: задовольняти по ...