Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Рекомендуємо почитати:

Створення виховуючих ситуацій
Виховуючі ситуації — спеціально організовані педагогічні умови для формування в учнів та студентів мотивів позитивної поведінки чи подолання недоліків. Ситуація стає виховуючою тоді, коли н ...

Економіка як навчальна дисципліна
Сьогодні економіка відіграє вирішальну роль у зміні людського світогляду на глобальному й особистісному рівні. Це навчальна дисципліна, яка вчить орієнтуватися в складних соціально-економіч ...

Загальні відомості про мовленнєву діяльність
Слово мовлення має три різних значення: а) мовлення як діяльність, мовлення як процес; б) мовлення як продукт мовленнєвої діяльності; в) мовлення як ораторський жанр. Мовлення в першому, пр ...