Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Рекомендуємо почитати:

Проектування мотиваційних технологій навчання
Мотивація-це спонукання чи психічні явища стали спонуканнями до виконання тієї чи іншої дії, яке визначає активність особистості та її спрямованість на досягнення запланованого результату. ...

Основні прийоми каліграфічного письма
Графічні прийоми письма. В основі оволодіння письмом лежать рухові навички. Процес вироблення навички письма молодшого школяра передбачає формування як технічних, так і графічних навичок. П ...

Організація та види самостійної роботи на уроках математики та в позаурочний час
Серед методів, які спрямовані на активізацію пізнавальної діяльності учнів, важлива роль належить самостійній роботі. Термін самостійна робота вживають у різних значеннях. Часто так називаю ...