Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання

Виконання вправ.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а) б)

в) г)

Відповіді: а)

б) ;

в)

г) .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ; в) ; в) ;

г) ; в) ; є) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Рекомендуємо почитати:

Вікові особливості та музична характеристика дітей молодшого шкільного віку
Однією із цілей музичного виховання є музичний розвиток дитини. Музичний розвиток, вважала Н. Ветлугіна, - складне явище. Між його компонентами встановлюються різноманітні взаємозв’язки: мі ...

Критерії оцінки сучасної музичної культури
Не існувало епохи, в якій сучасне мистецтво не було б об’єктом гострих суперечок, незгод і конфліктів. Історія музики пройнята ними від перших зафіксованих фактів у музичній теорії та естет ...

Формування та розвиток творчої діяльності студентів
В чому полягають особливості проблеми формування та розвитку творчої активності студентів? По-перше, практика показує, що досягне ний рівень педагогічної діяльності виявляється недостатнім ...