. Тобто предикат
тотожно
істинний, при всіх з області інтерпретації
. Це означає, що існує
таке, що
. Оскільки це
виконується при всіх , то предикат
тотожно істинний. Тоді
і
. Отримали протиріччя. Формула не виконувана. h) Нехай виконувана: у деякій інтерпретації маємо
. Звідси існує
, що
. Далі існує у0, що
. Отже, предикат
повинен бути таким, щоб для деяких
та
виконувалось:
та
. Це може бути довільний спростовний предикат, наприклад
на множині натуральних чисел. Тоді існують, наприклад,
та
, що
. Отже, дана формула виконувана і її можна у даній інтерпретації прочитати так: «Серед натуральних чисел є більші за 5 і не більші за 5».
Приклад 7. Встановити, які з формул є тавтологіями логіки предикатів:
a);
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
►а) Очевидно, що формула не тавтологія, бо перетворюється у хибне висловлення, коли предикат Р(х) виконуваний і спростовний, тобто якщо і
. Наприклад, Р(х)= «х-парне число» на множині N.b) Припустимо, що формула не тавтологія: існує на деякій множині М предикат
, що
, тобто
і
. З першого висловлення за означенням квантора існування випливає, що існує
таке, що
звідки випливає, що предикат
(*) тотожно істинний. З другого висловлення випливає, що існує
таке, що
, а це означає, що предикат
(**) тотожно хибний. Оскільки
та
належать області інтерпретації, то з (*) маємо
а з (**) – що
. Це протиріччя доводить, що формула тавтологія, с) Нехай Q (x, y)= «x, y» на множині натуральних чисел. Тоді
(для кожного натурального числа існує більше за нього) і
(не існує найбільшого натурального числа). У даній інтерпретації формула перетворюється у хибне висловлення, тому не є тавтологією.d) Нехай дана відкрита формула не тавтологія: існують предикати
і
, що
. Звідси
та
. Предикат
не тотожно істинний, тому існує
, що
. Не отримали протиріччя, але маємо підказку, що інтерпретація, у якій формула перетвориться у хибне висловлення, повинна бути такою, щоб
, і
.
Рекомендуємо почитати:
Методика формування вмінь редагувати писемне мовлення
Уміння створювати текст у писемному мовленні є заключним етапом у багатоплановій роботі з розвитку мовлення. Одним із важливих завдань цієї роботи є формування вмінь здійснювати мовленнєвий ...
Трикутник і його елементи
Трикутником називається фігура, що складається із трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника. На р ...
Вимоги до керівника хореографічного колективу
Найголовнішим і першочерговим для створення плідної роботи колективу є наявність організатора, ідейного лідера, сильної творчої особистості, художнього керівника, який визначатиме ідейно-ес ...
У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>