Класифікація формул логіки предикатів. Логічне слідування

. Тобто предикат тотожно

істинний, при всіх з області інтерпретації . Це означає, що існує таке, що. Оскільки це

виконується при всіх , то предикат тотожно істинний. Тоді і. Отримали протиріччя. Формула не виконувана. h) Нехай виконувана: у деякій інтерпретації маємо

. Звідси існує , що. Далі існує у0, що. Отже, предикат повинен бути таким, щоб для деяких та виконувалось: та . Це може бути довільний спростовний предикат, наприклад на множині натуральних чисел. Тоді існують, наприклад, та , що . Отже, дана формула виконувана і її можна у даній інтерпретації прочитати так: «Серед натуральних чисел є більші за 5 і не більші за 5».

Приклад 7. Встановити, які з формул є тавтологіями логіки предикатів:

a);

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .

►а) Очевидно, що формула не тавтологія, бо перетворюється у хибне висловлення, коли предикат Р(х) виконуваний і спростовний, тобто якщо і. Наприклад, Р(х)= «х-парне число» на множині N.b) Припустимо, що формула не тавтологія: існує на деякій множині М предикат , що, тобто і. З першого висловлення за означенням квантора існування випливає, що існує таке, що звідки випливає, що предикат (*) тотожно істинний. З другого висловлення випливає, що існуєтаке, що, а це означає, що предикат (**) тотожно хибний. Оскільки та належать області інтерпретації, то з (*) маємо а з (**) – що. Це протиріччя доводить, що формула тавтологія, с) Нехай Q (x, y)= «x, y» на множині натуральних чисел. Тоді (для кожного натурального числа існує більше за нього) і (не існує найбільшого натурального числа). У даній інтерпретації формула перетворюється у хибне висловлення, тому не є тавтологією.d) Нехай дана відкрита формула не тавтологія: існують предикати і, що. Звідси та. Предикат не тотожно істинний, тому існує, що. Не отримали протиріччя, але маємо підказку, що інтерпретація, у якій формула перетвориться у хибне висловлення, повинна бути такою, щоб , і .

Рекомендуємо почитати:

Адаптація дітей до навчання
Початок навчання у школі – один з найважливіших періодів у житті дитини. Це пов'язано не тільки зі зміною соціальної ситуації розвитку дитини, її статусу й зайняттям нової, “внутрішньої поз ...

Розробка уроку на тему «Математичне моделювання»
Мета: ввести поняття математичного моделювання; розглянути загальну задачу математичного моделювання, проілюструвати її прикладами; розвивати логічне мислення, інтерес до вивчення математик ...

Методи проектів
Робота в парах, змінних і постійних «Обмін завданнями», «Передавання тем», «Обговорення проблем» Організація роботи базується на тому, що один із партнерів є носієм інформації, знає шляхи в ...