Класифікація формул логіки предикатів. Логічне слідування

Легко тепер наповнити інтерпретацію, у якій формула перетворюється на хибне висловлення, конкретним змістом. Нехай М = {5,6}, а . Тоді , і. ◄[26, ст. 48]

Приклад 6. Встановити, чи виконувані формули логіки предикатів:

; e);

; f);

; g) ;

; h) .

а) Якщо формула має простий вигляд, то для доведення її виконуваності достатньо навести приклад хоча б однієї інтерпретації, у якій вона перетвориться на істинне висловлення. Щоб формула була істинним висловленням, потрібно щоб предикат був тотожно істинним. Наприклад, при , матимемо , тому формула виконувана. b) Інколи потрібно провести аналіз формули, щоб отримати протиріччя або підказку, якою має бути інтерпретація. Припустимо, що дана замкнута формула виконувана, тобто існує деякий двомісний предикат , визначений на множині М, що формулаперетворюється у істинне висловлення: .

Навішування квантора існування дає істинне висловлення, якщо предикат виконуваний. Тобто існує , що. Навішування квантора загальності по удає істинне висловлення, якщо предикат тотожно істинний. Це означає, що він повинен перетворюватися у істинне висловлення при довільних , а, отже, і при . А це неможливо, Бо . Припущення про те, що формула виконувана,

привело до протиріччя, отже, вона не виконувана і є суперечністю.с) Ця формула виконувана, оскільки вона виконувана у будь-якій інтерпретації з одноелементною множиною (див. приклад 5). d) Ця формула була б виконуваною, якби у деякій інтерпретації предикат був тотожно істинним. А це неможливо, оскільки при довільних значеннях з області інтерпретації висловлення. Отже, формула не виконувана. е) Нехай дана відкрита формула виконувана: існує предикат на множині М і елемент , що. Тоді за означенням кон’юнкції та . З другої умови випливає, що предикат тотожно істинний, тобто, перетворюється у істинне висловлення при всіх у, а, отже, і при , аз першої умови маємо . Отримали протиріччя, отже, формула не виконувана. f) Нехай формула виконувана, тобто існують предикати та , що . Це означає, що в області інтерпретації існує елемент х0, що висловлення, тобто предикат тотожно істинний. Тут нема протиріччя. Достатньо вибрати тотожно хибний предикат і буде тотожно істинним при довільному. Наприклад, при , визначених на множині дійсних чисел, та при довільному предикат В(у) тотожно істинний, бо при всіх матимем: . Отже, формула виконувана. g) Нехай виконувана: у деякій інтерпретації маємо

Рекомендуємо почитати:

Види задач на пропорційне ділення та способи їх опрацювання
Задачі, пов’язані з пропорційними величинами, належать до типових задач. Серед типових є задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого і оберненого зведення до одиниці т ...

Історія та розвиток яворівської забавки
Це унікальний випадок у народному декоративному мистецтві України. Яворівська забавка (саме забавка, а не іграшка, оскільки походить від забавляти, бавити, заспокоювати) — іграшки, що майст ...

Історія розвитку проблеми патріотичних почуттів, патріотичного виховання у педагогічній науці
Виховні традиції української педагогіки складалися упродовж багатьох століть. За цей період наш народ набрав великого досвіду виховання, створив власну педагогічну культуру, в основі якої л ...