Одна і та ж формула в різних інтерпретаціях або в одній інтерпретації при різних заміщеннях вільних змінних константами може перетворюватися як в істинне, так і в хибне висловлення. Наприклад, замкнута формула перетворюється в істинне висловлення «Для довільного натурального числа існує число, більше за нього», якщо на множині натуральних чисел задати предикат
і в хибне мисловлення «Кожен чоловік має сина», якщо на множині всіх чоловіків задати предикат Р (х, у) – «х батько у».
Формула називається істинною в даній інтерпретації, якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів (констант) з області інтерпретації.
Аналогічно означаються хибна, виконувана та спростовна в даній інтерпретації формула.
Інтерпретація називається моделлю для деякої множини формул, якщо кожна формула даної множини істинна в даній інтерпретації.
Формула логіки предикатів може бути:
логічно загальнозначущою (тавтологією), якщо вона істинна в будь – якій інтерпретації;
суперечністю (тотожно хибною), якщо вона хибна в будь-якій інтерпретації;
виконуваною, якщо вона виконувана хоча б в одній інтерпретації;
спростовною, якщо вона спростовна хоча б в одній інтерпретації. Якщо формулаА тавтологія логіки предикатів, то це записують ⊨А.
Окремим випадком формули А алгебри висловлень називається формула логіки предикатів, одержана з А підстановкою замість пропозиційних змінних довільних формул логіки предикатів.
Окремий випадок будь-якої тавтології алгебри висловлень єтавтологією логіки предикатів. Наприклад, формула тавтологія, бо є окремим випадком тавтології
.
Формула В є логічним наслідком формули А (А⊨В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому А перетворюється в істинне висловлення.
Можна довести, що А⊨В тоді і тільки тоді, коли ⊨.Із тавтологій, що містять імплікацію (доведення далі), можна отримати деякі важливі схеми логічного слідування. Наприклад,
⊨
– правило універсальної конкретизації;
– правило екзистенціального узагальнення.
Аналогічно, формула В є логічним наслідком формул (
В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому всі
одночасно перетворюються в істинне висловлення. Можна довести, що
В тоді і тільки тоді, коли
або формула
є тотожно хибною.
Найбільш часто вживані схеми логічного висновку – силогізми Арістотеля. Це схеми, що складаються з трьох простих висловлень типуА, E, I та O, з яких перші два – посилки, а третє – висновок. У кожному з силогізмів розглядаються три властивості (предикати) S, М та Р. Перша (велика) посилка пов’язує М і Р, друга (мала) пов’язує М і S, а висновок пов’язує S і Р.
Рекомендуємо почитати:
Основні форми патріотизму
Патріотизм є складним і багатогранним явищем. Багатоаспектність і складність соціального явища, яким є патріотизм, обумовлює розмаїття його форм. Історія розвитку людства свідчить, що з пос ...
Роль правильного інтонування в музично-естетичному розвитку учнів
Всі засоби музичної виразності об'єднує в собі мелодія. В реалістичній музиці мелодія — головний носій музичного змісту. Видатний радянський музикознавець Б. Асаф'єв вважав мелодію «душею м ...
Новітні технології. Суть вивчення для початкової школи
Доцільність введення колективної учбової діяльності у старших класах доведена тривалими експериментальними дослідженнями, проведеними групою вчених Тартуського університету під керівництвом ...
У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>