Класифікація формул логіки предикатів. Логічне слідування

Одна і та ж формула в різних інтерпретаціях або в одній інтерпретації при різних заміщеннях вільних змінних константами може перетворюватися як в істинне, так і в хибне висловлення. Наприклад, замкнута формула перетворюється в істинне висловлення «Для довільного натурального числа існує число, більше за нього», якщо на множині натуральних чисел задати предикат і в хибне мисловлення «Кожен чоловік має сина», якщо на множині всіх чоловіків задати предикат Р (х, у) – «х батько у».

Формула називається істинною в даній інтерпретації, якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів (констант) з області інтерпретації.

Аналогічно означаються хибна, виконувана та спростовна в даній інтерпретації формула.

Інтерпретація називається моделлю для деякої множини формул, якщо кожна формула даної множини істинна в даній інтерпретації.

Формула логіки предикатів може бути:

логічно загальнозначущою (тавтологією), якщо вона істинна в будь – якій інтерпретації;

суперечністю (тотожно хибною), якщо вона хибна в будь-якій інтерпретації;

виконуваною, якщо вона виконувана хоча б в одній інтерпретації;

спростовною, якщо вона спростовна хоча б в одній інтерпретації. Якщо формулаА тавтологія логіки предикатів, то це записують ⊨А.

Окремим випадком формули А алгебри висловлень називається формула логіки предикатів, одержана з А підстановкою замість пропозиційних змінних довільних формул логіки предикатів.

Окремий випадок будь-якої тавтології алгебри висловлень єтавтологією логіки предикатів. Наприклад, формула тавтологія, бо є окремим випадком тавтології .

Формула В є логічним наслідком формули А (А⊨В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому А перетворюється в істинне висловлення.

Можна довести, що А⊨В тоді і тільки тоді, коли ⊨.Із тавтологій, що містять імплікацію (доведення далі), можна отримати деякі важливі схеми логічного слідування. Наприклад,⊨ – правило універсальної конкретизації; – правило екзистенціального узагальнення.

Аналогічно, формула В є логічним наслідком формул (В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому всі одночасно перетворюються в істинне висловлення. Можна довести, щоВ тоді і тільки тоді, коли або формула є тотожно хибною.

Найбільш часто вживані схеми логічного висновку – силогізми Арістотеля. Це схеми, що складаються з трьох простих висловлень типуА, E, I та O, з яких перші два – посилки, а третє – висновок. У кожному з силогізмів розглядаються три властивості (предикати) S, М та Р. Перша (велика) посилка пов’язує М і Р, друга (мала) пов’язує М і S, а висновок пов’язує S і Р.

Рекомендуємо почитати:

Науковці про гру, як засіб оптимізації процесу навчання дітей 5-го року життя
Розвиток пізнавальної активності у дітей дошкільного віку відбувається більш інтенсивно за умови використання дидактичних ігор, що стимулює у них пошукові дії впевненість у досягненні успіх ...

Особливості викладання природознавства у 5 – 6 класах
У цьому навчальному році п'ятикласники розпочали вивчати «Природознавство» — інтегрований пропедевтичний курс, головна мета якого — формування в учнів уявлень про цілісність природи, місце ...

Особливості вікового періоду учнів 5 – 6 класів
Розвиток дитини є складним процесом становлення людської особистості, процесом безперервного руху, зміни і вдосконалення її фізичних та духовних сил. Цей процес має різні форми (анатомо-фіз ...