Класифікація формул логіки предикатів. Логічне слідування

Одна і та ж формула в різних інтерпретаціях або в одній інтерпретації при різних заміщеннях вільних змінних константами може перетворюватися як в істинне, так і в хибне висловлення. Наприклад, замкнута формула перетворюється в істинне висловлення «Для довільного натурального числа існує число, більше за нього», якщо на множині натуральних чисел задати предикат і в хибне мисловлення «Кожен чоловік має сина», якщо на множині всіх чоловіків задати предикат Р (х, у) – «х батько у».

Формула називається істинною в даній інтерпретації, якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів (констант) з області інтерпретації.

Аналогічно означаються хибна, виконувана та спростовна в даній інтерпретації формула.

Інтерпретація називається моделлю для деякої множини формул, якщо кожна формула даної множини істинна в даній інтерпретації.

Формула логіки предикатів може бути:

логічно загальнозначущою (тавтологією), якщо вона істинна в будь – якій інтерпретації;

суперечністю (тотожно хибною), якщо вона хибна в будь-якій інтерпретації;

виконуваною, якщо вона виконувана хоча б в одній інтерпретації;

спростовною, якщо вона спростовна хоча б в одній інтерпретації. Якщо формулаА тавтологія логіки предикатів, то це записують ⊨А.

Окремим випадком формули А алгебри висловлень називається формула логіки предикатів, одержана з А підстановкою замість пропозиційних змінних довільних формул логіки предикатів.

Окремий випадок будь-якої тавтології алгебри висловлень єтавтологією логіки предикатів. Наприклад, формула тавтологія, бо є окремим випадком тавтології .

Формула В є логічним наслідком формули А (А⊨В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому А перетворюється в істинне висловлення.

Можна довести, що А⊨В тоді і тільки тоді, коли ⊨.Із тавтологій, що містять імплікацію (доведення далі), можна отримати деякі важливі схеми логічного слідування. Наприклад,⊨ – правило універсальної конкретизації; – правило екзистенціального узагальнення.

Аналогічно, формула В є логічним наслідком формул (В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому всі одночасно перетворюються в істинне висловлення. Можна довести, щоВ тоді і тільки тоді, коли або формула є тотожно хибною.

Найбільш часто вживані схеми логічного висновку – силогізми Арістотеля. Це схеми, що складаються з трьох простих висловлень типуА, E, I та O, з яких перші два – посилки, а третє – висновок. У кожному з силогізмів розглядаються три властивості (предикати) S, М та Р. Перша (велика) посилка пов’язує М і Р, друга (мала) пов’язує М і S, а висновок пов’язує S і Р.

Рекомендуємо почитати:

Педагогічні технології у вищому навчальному закладі
На рубежі тисячоліть в Україні створюється нова система вищої освіти, орієнтована на входження у світовий освітній простір. Цей процес супроводжується суттєвими змінами у педагогічній теорі ...

Система педагогічних наук. Взаємозв’язок педагогіки з філософією, психологією, соціологією, етнопедагогікою та іншими науками
Між предметні зв’язки педагогіки – зв’язки педагогіки з іншими науками, що дають змогу глибше пізнати педагогічні факти, явища, процеси. Філософія, соціологія, естетика допомагають педагогі ...

Специфіка спільної роботи класного керівника та учнівського колективу щодо організації позаурочної діяльності
Для організації позаурочної виховної роботи в середніх і старших класах із числа найбільш досвідчених учителів призначаються класні керівники. Їх необхідність зумовлена тим, що в цих класах ...