Нерівність трикутника

Якщо точки й різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку . Якщо точки й збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю.

Теорема 8.1 (нерівність трикутника).

Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней від них до третьої точки.

Це значить, що кожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.

Доведення.

Нехай - три дані точки. Якщо дві точки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.

Якщо всі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, наприклад . У цьому випадку . Звідси видно, що кожне із трьох відстаней не більше суми двох інших.

Допустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).

Рис.8.1. До доведення нерівностей в трикутнику

Доведемо, що . Опустимо перпендикуляр на пряму . По доведеному . І тому що й , те .

Теорема доведена.

Помітимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строга нерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.

Задача 8.1. Доведіть, що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.

Розв’язок (рисунок 8.2).

Рис.8.2. До задачі 8.1

По нерівності трикутника , причому якщо центр не лежить на відрізку , то нерівність строга. Рівність має місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.

У 2007-2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено, що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.

Кількість годин на вивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників і метод доведення від супротивного.

7 клас - Геометрія (1 год на тиждень у І семестр - 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі - 38 год, всього 54 год)

Рекомендуємо почитати:

Формування початкових знань учнів про священні книги Індії в пропедевтичному курсі світової літератури
За програмою світової літератури 2005 року в 6 класі вивчають міфи про створення світу в різних народів. В цій темі доцільно використати вивчення міфу про Ману. Методичні рекомендації: Пере ...

Навчання і побут студентів вищого навчального закладу
Формування студентського контингенту навчального закладу вищої фізкультурної освіти має свої особливості. Потенційними абітурієнтами і студентами цих закладів є, як правило, молодь, яка акт ...

Вікові особливості та музична характеристика дітей молодшого шкільного віку
Однією із цілей музичного виховання є музичний розвиток дитини. Музичний розвиток, вважала Н. Ветлугіна, - складне явище. Між його компонентами встановлюються різноманітні взаємозв’язки: мі ...