Якщо точки й
різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку
. Якщо точки
й
збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю.
Теорема 8.1 (нерівність трикутника).
Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней від них до третьої точки.
Це значить, що кожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.
Доведення.
Нехай - три дані точки. Якщо дві точки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.
Якщо всі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, наприклад . У цьому випадку
. Звідси видно, що кожне із трьох відстаней не більше суми двох інших.
Допустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).
Рис.8.1. До доведення нерівностей в трикутнику
Доведемо, що . Опустимо перпендикуляр
на пряму
. По доведеному
. І тому що
й
, те
.
Теорема доведена.
Помітимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строга нерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.
Задача 8.1. Доведіть, що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.
Розв’язок (рисунок 8.2).
Рис.8.2. До задачі 8.1
По нерівності трикутника , причому якщо центр
не лежить на відрізку
, то нерівність строга. Рівність має місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.
У 2007-2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено, що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.
Кількість годин на вивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників і метод доведення від супротивного.
7 клас - Геометрія (1 год на тиждень у І семестр - 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі - 38 год, всього 54 год)
№ п/п |
Назва теми |
Кількість годин |
Кількість тематичних оцінювань |
I |
Найпростіші геометричні фігури та їх властивості |
4 |
діагностичне |
II |
Взаємне розташування прямих на площині |
12 |
1 |
III |
Трикутники |
18 |
1-2 |
ІV |
Коло і круг. Геометричні побудови |
14 |
1 |
V |
Повторення і систематизація навчального матеріалу |
6 |
1 |
Рекомендуємо почитати:
Особливості роботи майстра в навчальній групі
У процесі навчання в ПТНЗ, виробничої практики на підприємстві формуються нові потреби та мотиви поведінки учнів, підвищується рівень їх самосвідомості. Але цього може не статись, якщо мора ...
В.А. Караковський: біографія та основні роботи
Володимир Абрамович Караковський народився 14 лютого 1932 року в Свердловську (тепер - Єкатеринбург). Мати дитини померла при пологах, і Володю усиновила сім'я інспектора народної освіти Аб ...
Сценарій виховного заходу „8 березня – міжнародний жіночий день”
1-й ведучий Добрий день дорогі друзі, шановні жінки! 2-га ведуча. З святом вас! Прийміть найщиріші вітання зі святом весни, ніжності і кохання 8 Березня! 1-й ведучий Прислухайтесь, як дзюрч ...
У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>