Нерівність трикутника

Якщо точки й різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку . Якщо точки й збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю.

Теорема 8.1 (нерівність трикутника).

Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней від них до третьої точки.

Це значить, що кожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.

Доведення.

Нехай - три дані точки. Якщо дві точки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.

Якщо всі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, наприклад . У цьому випадку . Звідси видно, що кожне із трьох відстаней не більше суми двох інших.

Допустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).

Рис.8.1. До доведення нерівностей в трикутнику

Доведемо, що . Опустимо перпендикуляр на пряму . По доведеному . І тому що й , те .

Теорема доведена.

Помітимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строга нерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.

Задача 8.1. Доведіть, що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.

Розв’язок (рисунок 8.2).

Рис.8.2. До задачі 8.1

По нерівності трикутника , причому якщо центр не лежить на відрізку , то нерівність строга. Рівність має місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.

У 2007-2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено, що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.

Кількість годин на вивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників і метод доведення від супротивного.

7 клас - Геометрія (1 год на тиждень у І семестр - 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі - 38 год, всього 54 год)

Рекомендуємо почитати:

Абсолютна і відносна похибка наближеного значення числа
Значення чисел, якими користуються у практичних розрахунках, бувають точними і наближеними. Причини появи наближених значень чисел і величин можуть бути різними: неточність методу розв'язув ...

Система вивчення числівника
Молодші школярі знайомляться з числівником як частиною мови в 4 класі. Вони дістають перше уявлення про специфічні особливості цієї частини мови, вчаться розпізнавати числівники в тексті, п ...

Вимоги до матеріальної бази закладів освіти, щодо впровадження інформаційних технологій
Роль сучасних засобів навчання є вагомим фактором інформатизації всесвітньої освіти. За даними VI щорічної Міжнародної громадської організації «Всесвітній економічний форум - 2006», в якій ...