Рівнобедрений трикутник, його властивості та ознаки

З рівності трикутників витікає рівність кутів: . Тому що кути Ð й Ð суміжні й рівні, те - бісектриса. Тому що кути Ð й Ð суміжні й рівні, то вони прямі, тому висота трикутника.

Теорема доведена.

Задача 3.1 Доведіть, що в рівностороннього трикутника всі кути рівні.

Рішення. Нехай - даний трикутник з рівними сторонами: (рисунок 3.5).

Рис.3.5 До задачі 3.1

Тому що , то цей трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Тому що , то трикутник рівнобедрений з основою . По теоремі 3.1 . Таким чином, , тобто всі кути трикутника рівні.

Задача 3.2 Сформулюйте й доведіть теорему, зворотну твердженню задачі 3.1

Розв’язок. У задачі 3.1 умова полягає в тому, що трикутник рівносторонній, а висновок - у тім, що всі кути трикутника рівні. Тому зворотна теорема повинна формулюватися так: якщо в трикутника всі кути рівні, то він рівносторонній.

Доведемо цю теорему. Нехай - трикутник з рівними кутами: . Тому що , то по теоремі 3.2 . Тому що , те по теоремі 3.2 . Таким чином, тобто всі сторони трикутника рівні. Виходить, по визначенню трикутник рівносторонній. Задача 3.3 Доведіть, що бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, протилежній основі, є медіаною й висотою. Розв’язок. Нехай - рівнобедрений трикутник з основою і його бісектрисою (рисунок 3.6).

Рис. 3.6. До задачі 3.3

Трикутники й рівні по першій ознаці. У них сторона загальна, сторони й рівні як бічні сторони рівнобедреного трикутника, а кути при вершині рівні, тому що - бісектриса. З рівності трикутників витікає рівність їхніх сторін і . Виходить, - медіана трикутника . А по властивості медіани рівнобедреного трикутника вона є й висотою.

Рекомендуємо почитати:

Сутність церковного співу
Церковний спів є одним з найважливіших елементів православного богослужіння. Принцип церковного співу слов’янська церква прийняла від православної грецької церкви. У зв’язку з тим, що богос ...

Контроль та оцінка навчальних та наукових досягнень студентів
Контроль якості навчання й оцінювання знань явище історичне. Початок його був покладений ще у XVIII столітті і використаний у вищих школах Німеччини, де було введено рангування студентів. Т ...

Розробка уроку праці
Тема. Подарунок мамі. Виготовлення саморобної листівки . Мета: ознайомити учнів з об’ємними листівками, навчити виготовляти квіти з паперу; розвивати фантазію, кмітливість; виховувати любов ...