Величини, їх вимірювання і властивості

Однорідними величинами називають величини, які характеризують одну і ту ж якість предмета.

В початкових класах розглядаються лише адитивно-скалярні величини. Системою адитивно-скалярних величин називається така система однорідних величин, на якій визначена операція додавання, яка дає змогу замінити дві однорідні величини а і b їх сумою a + b.

Для скалярних однорідних величин справджуються такі властивості (аксіоми):

1) Будь-які дві величини одного роду можна порівнювати.

Для довільних величин а і b має місце один і тільки один з трьох випадків: «а = b», «а < b», або «а > b».

2) Для будь-яких а, b, с, якщо а < b і b < с, слідує а < с (транзитивність нерівності).

3) Величини одного роду можна додавати, в результаті отримуємо величину цього ж роду.

Для будь-яких величин а і b існує таке с, що с = a + b (існування і єдиність суми).

4) Для будь-яких величин а і b справджується рівність a + b = b + a (комутативність додавання).

5) Для довільних величин а, b, с справджується рівність (а + b)+ с = а + (b+ с) (асоціативність додавання).

6) Існує нульова величина, яку позначаємо 0. Вона має такі властивості:

а) якщо а ≠ 0, то а > 0;

б) для кожної величини а справджується рівність а + 0 = а;

в) а х 0 = 0.

7) Для будь-яких величин а і b; b ≠ 0; а+ b> а (монотоність додавання).

8) Для будь-яких величин а і b, якщо а>b, то знайдеться таке с, що b + с = а (можливість віднімання).

9) Величини можна множити на дійсне число, в результаті отримаємо величину цього ж роду.

Для будь-якого натурального п знайдеться таке b, що п х b = а (виконуваність ділення: а: b= п).

10) Для будь-якого а і додатного b (b>0) знайдеться таке натуральне число п (п є N), що а<bп (аксіома Архімеда).

11) Для двох послідовностей величин а1<а2<а3<…<b3<b2<b1 завжди існує така величина с, яка більша від усіх ап і менша під усіх bп (аксіома неперервності)

а1<а2<а3<…<an<с<bn…<b3<b2<b1

а) Довжина

Довжиною відрізка називається додатна величина, визначена для кожного відрізка так, що:

1) рівні відрізки мають рівні довжини;

2) якщо відрізок складається з скінченої кількості відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин цих відрізків;

3) існує відрізок, довжина якого дорівнює одиниці.

Властивості довжин відрізків:

1. При вибраній одиниці довжини, довжина будь-якою відрізка виражається додатним дійсним числом. Для кожною додатного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.

2. Якщо два відрізки рівні, то числові значення їх довжин також рівні, і навпаки: якщо числові значення довжин двох відрізків рівні, то рівні і самі відрізки.

а = b те (а) = те (b)

3. Якщо даний відрізок є сумою декількох відрізків, то числове значення його довжини дорівнює сумі числових значень довжин доданків, і навпаки: якщо числове значення довжини відрізка дорівнює сумі числових значень декількох відрізків, то і сам відрізок дорівнює сумі цих відрізків.

с= а + b те (с) = те (а) + те (b)

4. Якщо довжини відрізків а і b такі, що b= ха, де х є R, і довжина a виміряна за допомогою одиниці е, то щоб знайти числове значення довжини b при одиниці виміру е, достатньо число х помножити на числове значення довжини а при одиниці е.

b= ха те (b) = х те (а)

Нехай х = 2; а = 7 см, тоді b = 2а = 2 х 7 см = 14 см.

5. При заміні одиниці довжини числове значення збільшиться (зменшиться) у стільки разів, у скільки нова одиниця менша (більша) старої.

Наприклад:

а) 5 м = 500 см

(1 м = 100 см) (нова одиниця у 100 разів менша, то числове значення збільшиться у 100 разів);

б) 5 м = 0,005 км

(1 км = 1000 м) (нова одиниця у 1000 разів більша, то числове значення у 1000 разів менше).

6. Відрізок а більший відрізка b, якщо числове значення довжини відрізка а більше числового значення довжини відрізка b при одній і тій же одиниці виміру і – навпаки:

Рекомендуємо почитати:

Металопластика
Найпростішим, легким і доступним видом художньої обробки металів є металопластика. Найдоцільніше приступати до занять із металопластики у 5 класі, оскільки вона не потребує складних прийомі ...

Основні естетичніх напрямки та течії музичної куьтури ХХ століття
Абстракціоні́зм - одна з течій авангардистського мистецтва. Виникла на початку ХХ ст. Філософсько-естетична основа абстракціонізму - ірраціоналізм, відхід від ілюзорно-предметного зобр ...

Погляди вчених на проблему прав дітей
Нині в Україні спостерігається спалах інтересу до такої незвичної для вітчизняного суспільно-гуманітарного контексту проблеми, як права дитини. Висунення на передній план політичного, педаг ...