Методика навчання розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей

Нова педагогіка » Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей у старшій школі з використанням мультимедійних засобів навчання » Методика навчання розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей

Сторінка 2

Підсумовуючи ці міркування, робимо висновки: якщо при переході від однієї основи логарифмів до іншої нова основа - число (звичайно більше від нуля і не дорівнює одиниці), то дістанемо рівняння, рівносильне даному на його області визначення.

Якщо доводиться використовувати вираз із змінною як нову основу логарифма, то щоб не втратити корені рівняння, необхідно розглядати два випадки:

вираз, який береться як нова основа, дорівнює одиниці (якщо це можливо на області визначення розглядуваного рівняння), і перевіряємо, чи будуть ці значення змінної, при яких вираз дорівнює одиниці, коренями даного рівняння;

нова основа не дорівнює одиниці - в цьому випадку користаємося формулою переходу від однієї основи логарифма до іншої.

Бажано звернути увагу учнів на те, що деякі логарифмічні рівняння, які зведені до вигляду можна розв’язати за допомогою розкладання лівої частини рівняння на множники.

Досить часто зустрічаються рівняння, члени яких є степенями, в яких основа і показник степеня - функції від змінної величини.

Приклад: Розв’язати рівняння

.

Розв’язання: Область визначення: . Тоді ліва і права частини цього рівняння додатні на області визначення. Прологарифмуємо обидві частини за основою 4:

.

Дістаємо рівняння, рівносильне даному на області визначення:

.

Позначимо і, врахувавши, що , маємо:

Звідки або .

Тоді або . Отже,

або .

Оскільки ці значення входять до області визначення, то і - корені даного рівняння.

Підводячи підсумки розв’язування цього рівняння, бажано звернути увагу учнів на те, що в цьому рівнянні (в його лівій частині) змінна входить і в основу, і в показник степеня. Доцільно зафіксувати в зошитах учнів, що рівняння, в якому змінна входить і в основу, і в показник степеня, найчастіше розв’язується логарифмуванням обох частин рівняння.

Слово «найчастіше» присутнє в наведеному правилі в зв’язку з рівняннями типу:

.

На його області визначення це рівняння рівносильне рівнянню:

,

яке за основною логарифмічною тотожністю рівносильне (на області визначення) рівнянню

.

Звідси (не входить до області визначення) або (входить до області визначення і є коренем).

Після відпрацювання цього правилу на прикладах доцільно запропонувати учням більш загальний підхід (він, як правило, використовується тоді, коли немає можливості взяти логарифм від обох частин рівняння) - перехід від степеня, в основі якого стоїть вираз із змінною, до степеня з числовою основою за формулою

, де , .

Зауваження. Очевидно, що при цю формулу можна застосовувати як зліва направо, так справа наліво. Якщо ми використаємо цю формулу при розв’язуванні рівняння, на області визначення якого , то ми гарантуємо і прямі, і обернені перетворення, тобто гарантуємо рівносильність утвореного рівняння на області визначення даного.

Необхідно звернути увагу учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись для розв’язування різних типів рівнянь (нерівностей), починаючи з найпростіших показникових типу (за означенням логарифма або прологарифмувавши обидві частини за основою 2, маємо:

Страницы: 1 2 3

Рекомендуємо почитати:

Психолого-педагогічні особливості дітей молодшого шкільного віку
Межі молодшого шкільного віку, що збігаються з періодом навчання в початковій школі, встановлюються в даний час з 6–7 до 9–10 років. Молодший шкільний вік називають вершиною дитинства. Дити ...

Діагностика розвитку творчих здібностей у молодших школярів на уроках праці
У цьому розділі ми розглянемо простий тест, завдяки якому можна дослідити рівень розвитку творчих здібностей молодших школярів (тест оснований на розробці Х. Зиверта). Його виконання повинн ...

Важкі діти в сім’ї
Сьогодні уже можна вважати доведеним, що джерела морального неблагополуччя потрібно шукати перш за все у сімейному вихованні. І це неважко пояснити: в дитинстві і ранньому дитинстві сім'я м ...

Викладання іноземної мови

Викладання іноземної мови

У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edudirect.net