Метод Симпсона

Нова педагогіка » Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" » Метод Симпсона

Сторінка 1

Якщо в квадратурній формулі Ньютона-Котеса (2.12) взяти то здобудемо таку формулу

(2.3.1)

За формулою (2.11) знаходимо . Врахувавши властивості коефіцієнтів Котеса, знаходимо .

Після підстановок знайдених коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отримуємо квадратурну формулу, яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:

(2.3.2)

Рис.2.7 Геометричне тлумачення „формули парабол"

Назва квадратурної формули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла, якщо криву замінити параболою, що проходить через три точки (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати як площу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.

Знайдемо залишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності (2.3.2) запишемо формулу для похибки

(2.3.3)

Розкладемо функцію у ряд Тейлора в околі точки , припускаючи функцію такою, що розкладання можливе:

Знайдемо точне значення інтеграла:

(2.3.4)

Тепер знаходимо

(2.3.5)

Підставимо (2.3.3) і (2.3.5) у праву частину рівності (2.3.4):

Отже похибка квадратурної формули Симпсона може бути записана у вигляді

(2.3.6)

З формули (2.3.6) видно, що алгебраїчний степінь точності квадратурної формули Симпсона дорівнює трьом, тобто ця формула має підвищений степінь точності.

Формулу Симпсона також можна застосовувати не до всього відрізка інтегрування, а до окремих його частин. Для цього поділимо відрізок на частин рівної довжини кожний, як показано на рисунку (2.8)

Рис.2.8 Геометричне тлумачення формули Симпсона

Візьмемо -й подвоєний відрізок, функцію проінтегруємо на цьому відрізку, використовуючи квадратурну формулу (2.3.1) з похибкою (2.3.5)

.

Просумувавши інтеграли за всіма подвоєними відрізками, добудемо узагальнену формулу Сімпсона

Якщо прийняти умову, що відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами однакові і дорівнює , то останню формулу можна переписати в більш простому вигляді

Тепер запишемо окремо узагальнену формулу Сімпсона та її похибку

(2.3.7)

Страницы: 1 2 3

Рекомендуємо почитати:

Проблема виховного ідеалу в історико-педагогічному розвитку
У сучасних умовах стан дослідженості проблеми виховного ідеалу потребує суттєвого доопрацювання. Цілком очевидно, що в умовах нових політичних і соціально-економічних відносин у нашому сусп ...

Практичні основи виховання у старшокласників ціннісного ставлення до природи
Особливої актуальності у сучасному вихованні набули категорії “цінність” та “особистісна цінність”. Філософські джерела характеризують цінність як значення будь-якого явища, вчинку, загалом ...

Умови ефективності професійного мовлення вчителя
Попередня розмова про особливості й функції мовлення педагога ставить майбутнього вчителя перед питанням: за яких умов його мовлення може бути інструментом продуктивного розв'язання педагог ...

Викладання іноземної мови

Викладання іноземної мови

У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edudirect.net