Чисельні методи інтегрування

Нова педагогіка » Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" » Чисельні методи інтегрування

Сторінка 3

До обчислення останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє.

Теорема. Нехай - інтегровані на проміжку функції, причому , на всьому проміжку не змінює знак. Тоді

де

Якщо неперервна на , то ця формула може бути записана у вигляді

де

Застосуємо цю теорему до інтеграла (2.2.3). За припущенням функція є неперервною на , тому знайдеться така точка , що буде виконуватися рівність.

Отже,

(2.2.4)

Якщо відрізок достатньо великий, то похибка (2.2.4) квадратурної формули трапеції, як правило, велика. Для збільшення точності розділимо відрізок інтегрування на частин точками , тоді

Якщо розбиття рівномірне, тобто , то

Запишемо окремо узагальнену формулу трапеції і окремо її похибку:

(2.2.5)

(2.2.6)

Величина -середнє арифметичне значень другої похідної в точках відрізку . Очевидно, що , де -найменше значення, а -найбільше значення другої похідної , . Оскільки неперервна на , то в якості своїх значень на вона приймає всі проміжні числа між і . Отже, існує така точка , що , тобто

(2.2.7)

На рис (2.6) показано геометричне зображення узагальненої формули трапеції (2.2.5).

Рис.2.6 Геометричне зображення узагальненої формули трапецій

Точне значення інтеграла, тобто ліва частина наближеної рівності (2.2.5) це площа криволінійної трапеції, що обмежена зверху графіком функції . Наближене значення інтеграла (права частина рівності (2.2.5) - це площа фігури, що зверху обмежена ламаною (рис.2.6).

З формули (2.2.7) видно, що чим більшим є число , тим меншою буде похибка квадратурної формули (2.2.5). Крім того, з (2.2.7) видно, що алгебраїчний степінь точності і квадратурної формули трапеції дорівнює одиниці (так же, як і формули центральних прямокутників).

Страницы: 1 2 3 

Рекомендуємо почитати:

Письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел
Учні вже знайомі з письмовим додаванням і відніманням трицифрових чисел, тому ознайомлення з діями в межах мільйона відбувається прямим перенесенням. Пропонують перевірити правильність розв ...

Висота, бісектриса і медіана трикутника
Визначення. Висотою трикутника, опущеної з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. (рисунок 4.1) Рис.4.1 До ...

Ритм. Метр
Якщо будь-яку мелодію позбавити ритму, то замість неї залишиться лише звуковисотна схема. В умовах ритмічної організованості цей же ряд звуків перетворюється в чарівну пісеньку з ясною й чі ...

Викладання іноземної мови

Викладання іноземної мови

У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edudirect.net