Чисельні методи інтегрування

Нова педагогіка » Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" » Чисельні методи інтегрування

Сторінка 3

До обчислення останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє.

Теорема. Нехай - інтегровані на проміжку функції, причому , на всьому проміжку не змінює знак. Тоді

де

Якщо неперервна на , то ця формула може бути записана у вигляді

де

Застосуємо цю теорему до інтеграла (2.2.3). За припущенням функція є неперервною на , тому знайдеться така точка , що буде виконуватися рівність.

Отже,

(2.2.4)

Якщо відрізок достатньо великий, то похибка (2.2.4) квадратурної формули трапеції, як правило, велика. Для збільшення точності розділимо відрізок інтегрування на частин точками , тоді

Якщо розбиття рівномірне, тобто , то

Запишемо окремо узагальнену формулу трапеції і окремо її похибку:

(2.2.5)

(2.2.6)

Величина -середнє арифметичне значень другої похідної в точках відрізку . Очевидно, що , де -найменше значення, а -найбільше значення другої похідної , . Оскільки неперервна на , то в якості своїх значень на вона приймає всі проміжні числа між і . Отже, існує така точка , що , тобто

(2.2.7)

На рис (2.6) показано геометричне зображення узагальненої формули трапеції (2.2.5).

Рис.2.6 Геометричне зображення узагальненої формули трапецій

Точне значення інтеграла, тобто ліва частина наближеної рівності (2.2.5) це площа криволінійної трапеції, що обмежена зверху графіком функції . Наближене значення інтеграла (права частина рівності (2.2.5) - це площа фігури, що зверху обмежена ламаною (рис.2.6).

З формули (2.2.7) видно, що чим більшим є число , тим меншою буде похибка квадратурної формули (2.2.5). Крім того, з (2.2.7) видно, що алгебраїчний степінь точності і квадратурної формули трапеції дорівнює одиниці (так же, як і формули центральних прямокутників).

Страницы: 1 2 3 

Рекомендуємо почитати:

Формування готовності до оволодіння писемним мовленням молодшими школярами засобами спеціальних форм навчання
Реалізація завдань формування соціально активної і духовно багатої мовної особистості неможлива без оволодіння мовою як засобом спілкування, що передбачає насамперед набуття школярами комун ...

Сутність поняття «творча обдарованість», її психолого-педагогічні особливості та проблеми розвитку обдарованих
Феномен творчості завжди привертав увагу дослідників як найважливіший компонент соціальної культури. Творчість – це позитивно спрямована діяльність, каталізатор прогресивних змін у суспільс ...

Нерівність трикутника
Якщо точки й різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку . Якщо точки й збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю. Теорема 8.1 (нерівність трикутника). Які б не ...

Викладання іноземної мови

Викладання іноземної мови

У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.edudirect.net