Чисельні методи інтегрування

Метод прямокутників

Нехай є відрізок і нам треба обчислити визначений інтеграл

(2.1 1)

за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)

(2.1 2)

де - деякі фіксовані вузли

Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли . У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом .

(2.1 3)

при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлу

(2.1 3)

Знайдемо коефіціент

(2.1 4)

Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:

, (2.1 5)

При її називають формулою лівих прямокутників,

При її називають формулою правих прямокутників,

При - центральних (або середніх) прямокутників.

Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1

Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"

Оцінимо похибку квадратурної формули (2.1 5) за умови, що . За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо

(2.1 6)

Функцію запишемо у вигляді розвинення в ряд Тейлора в околі точки [7]:

(2.1 7)

Проінтегруємо обидві частини рівності (2.1 7) по відрізку

(2.1 8)

Тепер підставимо інтеграл (2.1 8) в (2.1 6)

(2.1 9)

Тепер розглянемо конкретні варіанти вибору точки

При (праві прямокутники): (2.1 10)

При (ліві прямокутники): (2.1 11)

При - (центральні прямокутники): (2.1 12)

З формул (2.1 10), (2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральних прямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.

Якщо довжина відрізку велика, то формули прямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарними формулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на рівних частин з кроком . Інтеграл шукаємо як суму інтегралів по всіх цих відрізках, тобто

Рекомендуємо почитати:

Технологічний етап виготовлення виробу
Деревина є одним з найпоширеніших і найуніверсальніших матеріалів, який люди використовують з незапам'ятних часів. Деревина - дуже цінний матеріал, який використовується в житловому і проми ...

Авторські пропозиції та їх результативність
Вивчення та узгодження теоретичних основ досліджуваної проблеми на констатуючому етапі дослідження, дозволили сформулювати робочу гіпотезу нашого дослідження: ефективність оптимального спол ...

Методичні рекомендації щодо формування репродуктивних граматичних навичок учнів засобами англійського вірша
Сформованість репродуктивної граматичної навички – одна з передумов функціонування вміння висловлювати свої думки в усній і письмовій формах. Щоб здійснити свій комунікативний вибір, той, х ...