Чисельні методи інтегрування

Метод прямокутників

Нехай є відрізок і нам треба обчислити визначений інтеграл

(2.1 1)

за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)

(2.1 2)

де - деякі фіксовані вузли

Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли . У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом .

(2.1 3)

при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлу

(2.1 3)

Знайдемо коефіціент

(2.1 4)

Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:

, (2.1 5)

При її називають формулою лівих прямокутників,

При її називають формулою правих прямокутників,

При - центральних (або середніх) прямокутників.

Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1

Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"

Оцінимо похибку квадратурної формули (2.1 5) за умови, що . За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо

(2.1 6)

Функцію запишемо у вигляді розвинення в ряд Тейлора в околі точки [7]:

(2.1 7)

Проінтегруємо обидві частини рівності (2.1 7) по відрізку

(2.1 8)

Тепер підставимо інтеграл (2.1 8) в (2.1 6)

(2.1 9)

Тепер розглянемо конкретні варіанти вибору точки

При (праві прямокутники): (2.1 10)

При (ліві прямокутники): (2.1 11)

При - (центральні прямокутники): (2.1 12)

З формул (2.1 10), (2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральних прямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.

Якщо довжина відрізку велика, то формули прямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарними формулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на рівних частин з кроком . Інтеграл шукаємо як суму інтегралів по всіх цих відрізках, тобто

Рекомендуємо почитати:

Новітні методи навчання на уроках образотворчого мистецтва
Специфіка такого предмета, як образотворче мистецтво, дозволяє вчителю широко використовувати інтерактивні методи та нестандартні форми організації уроку, які дають змогу підвищити ефективн ...

Народна педагогіка про навчання і виховання дітей у сім'ї
Оновлений погляд на педагогічну науку обумовлений відродженням національної школи. Педагогічна галузь людських знань одна з найдавніших, за час свого існування вона увібрала в себе багатові ...

Методика формування системи знань і умінь з технології обробки металу на верстатах на заняттях з трудового навчання у 9 класі при вивченні профілю “Металообробка”.
Робота на токарному верстаті: У 9 класах учні вивчають більш складний вид механічної обробки металу на токарно-гвинторізному верстаті. Під час вивчення елементів машинознавства вони знайомл ...