Чисельні методи інтегрування

Метод прямокутників

Нехай є відрізок і нам треба обчислити визначений інтеграл

(2.1 1)

за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)

(2.1 2)

де - деякі фіксовані вузли

Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли . У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом .

(2.1 3)

при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлу

(2.1 3)

Знайдемо коефіціент

(2.1 4)

Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:

, (2.1 5)

При її називають формулою лівих прямокутників,

При її називають формулою правих прямокутників,

При - центральних (або середніх) прямокутників.

Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1

Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"

Оцінимо похибку квадратурної формули (2.1 5) за умови, що . За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо

(2.1 6)

Функцію запишемо у вигляді розвинення в ряд Тейлора в околі точки [7]:

(2.1 7)

Проінтегруємо обидві частини рівності (2.1 7) по відрізку

(2.1 8)

Тепер підставимо інтеграл (2.1 8) в (2.1 6)

(2.1 9)

Тепер розглянемо конкретні варіанти вибору точки

При (праві прямокутники): (2.1 10)

При (ліві прямокутники): (2.1 11)

При - (центральні прямокутники): (2.1 12)

З формул (2.1 10), (2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральних прямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.

Якщо довжина відрізку велика, то формули прямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарними формулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на рівних частин з кроком . Інтеграл шукаємо як суму інтегралів по всіх цих відрізках, тобто

Рекомендуємо почитати:

Змістова структура патріотичного виховання
Сучасні умови життя в Україні висувають перед народною освітою якісно нові завдання у сфері виховання молоді, розв’язання яких допоможе подолати існуючий формалізм у змісті роботи школи. Ви ...

Розвиток розумових цінностей. Думка та мова
Здається, все тут зрозуміло: вчися в школі, відвідуй гурток, читай книжки — і ось ти уже розвинений, начитаний, розумний. Така проста схема виглядає не дуже привабливо для підлітка, він одр ...

Дослідження рівня обізнаності молоді щодо особливостей створення та функціонування прийомних сімей та дитячих будинків сімейного типу в Україні
У ході дипломного дослідження з метою з’ясування рівня обізнаності молоді щодо особливостей створення та функціонування прийомних сімей та дитячих будинків сімейного типу в Україні нами про ...