Метод прямокутників
Нехай є відрізок і нам треба обчислити визначений інтеграл
(2.1 1)
за попередньо представленою загальною квадратурною формулою Н’ютона - Котеса (1.4)
(2.1 2)
де - деякі фіксовані вузли
Найпростіший варіант інтерполяційної квадратурної формули (2.1 2) виникає, коли . У цьому випадку не можна скористатися формулою (1.20), бо коефіцієнт (1.19) при
невизначений. Тому, як і при побудові загальної інтерполяційної формули, замінимо підінтегральну функцію інтерполяційним багаточленом нульового степеня, що побудований за єдиним вузлом
.
(2.1 3)
при заміні підінтегральної функції (2.1 2) інтерполяційним поліномом нульового степеня, що побудований по єдиному вузлу
(2.1 3)
Знайдемо коефіціент
(2.1 4)
Після інтегрування маємо квадратурну „формулу прямокутника”:
,
(2.1 5)
При її називають формулою лівих прямокутників,
При її називають формулою правих прямокутників,
При - центральних (або середніх) прямокутників.
Геометричне тлумачення цієї формули показано на рис 2.1
Рис.2.1 Геометричне зображення „формули прямокутників"
Оцінимо похибку квадратурної формули (2.1 5) за умови, що
. За означенням похибки квадратурної формули (2.1 5) маємо
(2.1 6)
Функцію запишемо у вигляді розвинення в ряд Тейлора в околі точки
[7]:
(2.1 7)
Проінтегруємо обидві частини рівності (2.1 7) по відрізку
(2.1 8)
Тепер підставимо інтеграл (2.1 8) в (2.1 6)
(2.1 9)
Тепер розглянемо конкретні варіанти вибору точки
При (праві прямокутники):
(2.1 10)
При (ліві прямокутники):
(2.1 11)
При - (центральні прямокутники):
(2.1 12)
З формул (2.1 10), (2.1 11), (2.1 12) видно, що алгебраїчний степінь точності формули центральних прямокутників на 1 вище ніж лівих або правих.
Якщо довжина відрізку велика, то формули прямокутників мають невисоку точність. У цих випадках краще користуватися сумарними формулами прямокутників. Для цього розіб‘ємо відрізок на
рівних частин з кроком
. Інтеграл шукаємо як суму інтегралів по всіх цих відрізках, тобто
Рекомендуємо почитати:
Аналіз літературних джерел при вивченні профілю “Металообробка”
Аналіз літературних завжди робиться для того, щоб якомога докладніше, ширше і детальніше розглянути ту чи іншу проблему та розглянути, як різні автори пропонують її вирішувати. Щоб краще ви ...
Передумови формування писемного мовлення у дітей з
тяжкими порушеннями мовлення
Писемне мовлення як одна з форм мовленнєвої діяльності - важливий засіб комунікації і здобування знань, особливо в період шкільного навчання. Повноцінне оволодіння ним є не тільки освітнім, ...
Організація, методика і аналіз результатів констатуючого експерименту
Мета дослідження: розробити інструментарій досліджень, визначити основні фактори та шляхи розвитку творчих здібностей учнів. Методи досліджень: науково-теоретичний аналіз питання розвитку т ...
У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>