Постановка задачі наближеного інтегрування

Нова педагогіка » Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів" » Постановка задачі наближеного інтегрування

Сторінка 2

Але при цьому наближена рівність (1.4) не для всіх багаточленів степеня буде точною.

Алгебраїчний степінь точності квадратурної формули є мірою точності цієї формули. Оскільки будь-яку неперервну функцію можна як завгодно точно наблизити алгебраїчними багаточленами (за рахунок збільшення степеня багаточлена), то слід очікувати, що квадратурні формули, які мають високий алгебраїчний ступінь точності, будуть мати високу точність для будь-яких неперервних функцій .

Параметри , можна вибрати так. щоб зробити алгебраїчний ступінь точності квадратурної формули якомога вищим. Такі формули називаються квадратурними формулами найвищого степеня точності. Вперше вони були розглянуті Гауссом і тому їх часто називають формулами гауссового типу.

Якщо вузли вибрати з міркувань зручності (рівномірно розташованими ,), а коефіцієнти - з міркувань точності, то у випадку отримаємо квадратурні формули Ньютона - Котеса .

Якщо вузли вибрати з міркувань точності, а коефіцієнти - з міркувань зручності (всі коефіцієнти однакові), то добудемо квадратурні формули, що носять ім’я Чебишова.

Обгрунтування інтерполяційних квадратурних формул будується на наступних висновках.

Нехай на відрізку інтегрування якось зафіксовані різні між собою вузли , і будемо вибирати лише коефіцієнти () так, щоб формула (1.4) була якомога точнішою. Припускаємо, , тобто функія і всі її похідні до порядку включно є неперервними на відрізку . Візьмемо квадратурні вузли як вузли інтерполяції (оскільки вони всі з відрізку інтегрування та всі різні між собою), та побудуємо інтерполяційний багаточлен для функції . Будемо мати таку рівність

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Розглянемо тепер інтеграл від функції

(1.9)

підставимо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)

(1.10)

Якщо позначити

(1.11)

(1.12)

то інтеграл (1.10) можна переписати у вигляді

(1.13)

Відкинувши у (1.13) похибку , добудемо наближену формулу (1.4).

Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти , визначаються формулами (1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташовані на відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.

Формула (1.12) визначає похибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчний степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює . Збільшити степінь точності можна лише за рахунок вибору вузлів .

Страницы: 1 2 3

Рекомендуємо почитати:

Види навчальної діяльності на семінарському занятті
Найбільш поширеними видами навчальної діяльності на семінарському занятті у вищому навчальному закладі є дискусії, конференції, реферати. Дискусія є однією з найпоширеніших видом діяльності ...

Методологічна роль законів збереження у фізиці
Місце фізики в системі загальноосвітніх предметів визначається особливостями фізики серед інших наук. Сучасна фізика є найважливішим джерелом знань про навколишній світ, основою науково-тех ...

Механізми реалізації прав дитини в Україні
Сьогодні вже недостатньо просто змінювати світ в інтересах дітей, сьогодні вже йде мова про те, щоб змінювати світ разом з дітьми. Для цього треба слухати, що кажуть молоді люди, треба нада ...

Викладання іноземної мови

Викладання іноземної мови

У ДНЗ навчання дітей англійської мови доцільно розпочинати з п'ятилітнього віку. Більшість дітей цього віку досягають інтелектуальної, вольової, мотиваційної та емоційної готовності вивчати другу мову у колективі. >>>

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edudirect.net