Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа .

Рекомендуємо почитати:

Особливості розвитку усного та писемного мовлення
Уміння правильно говорити й писати відповідно до мовних норм потрібно кожній людині. Мовна норма – це правило, якому підкоряється мова, а мовленнєва помилка – це порушення мовної норми. Кул ...

Економіка як навчальна дисципліна
Сьогодні економіка відіграє вирішальну роль у зміні людського світогляду на глобальному й особистісному рівні. Це навчальна дисципліна, яка вчить орієнтуватися в складних соціально-економіч ...

Розробка питань санітарно-гігієнічного виховання учнів в психолого-педагогічній літературі
Розвиток людини вимагає організації двох взаємопов'язаних про-процесів - навчання і виховання. Ці два процеси мають різні завдання і тому, перетинаючись один з одним, а іноді навіть збігаюч ...