Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа .

Рекомендуємо почитати:

Позакласна робота з іноземної мови
Позакласну роботу з ЇМ можна визначити як систему неоднорідних за змістом, призначенням та методикою проведення освітньо-виховних заходів, що виходять за межі обов'язкових навчальних програ ...

Структура та органи управління Українського козацтва
Українське козацтво, як громадська організація, створюється з урахуванням сучасного адміністративно-територіального поділу України за територіальним, виробничо-територіальним принципом, за ...

Елементи прикладної математики – один із найважливіших розділів шкільної алгебри
Розподіл годин математики в 5-11 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється у відповідності до Робочих навчальних планів закладів освіти на 2009/2010 навчальний рік, які склад ...