Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа .

Рекомендуємо почитати:

Загальна характеристика навчальних позашкільних закладів освіти
Головна особливість діяльності позашкільних закладів полягає в тому, що вона будується на взаємній співтворчості педагогів і дітей, на їхній дружбі і духовній спільності, визнаній самостійн ...

Оцінювання учнівського проекту
Оцінювання результативності є обов'язковим елементом організації роботи над проектом. Результативність проекту полягає у співвідношенні запланованих очікуваннями з кінцевими результатами ро ...

Часткова експериментальна перевірка методики організації самостійної роботи студентів при викладанні дисципліни «Деталі машин»
Експериментальні дослідження були проведені з метою перевірки ефективності використання в навчальному процесі методики організації самостійної роботи студентів за допомогою електронного нав ...