Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа .

Рекомендуємо почитати:

Методика виконання анімалістичного малюнка у початкових класах
Тваринний світ дуже цікавий і різноманітний за формою і кольором. У початкових класах ці форми малюють найчастіше в профіль, що дає змогу зменшити вплив перспективних змін на зображення. На ...

Особливості природоохоронної діяльності школярів
Виховувати у школярів громадянську відповідальність за стан рідної природи, залучати їх до охорони і відтворення природних багатств - одне з актуальних завдань сьогодення. Життя та діяльніс ...

Вимоги змісту освіти
Зміст освіти на кожному етапі суспільного буття залежить від рівня розвитку науки та економіки, специфіки системи народної освіти певної країни, відведеного на освіту часу, теоретичного і п ...