Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа .

Рекомендуємо почитати:

Методи та прийоми духовно - морального виховання молодших школярів
Моральні мотиви керують моральними вчинками людини, спонукають його міркувати над відповідним проявом способу дій. Щоб домогтися від учнів глибоко усвідомленої, обгрунтованої поведінки, вчи ...

Стан реалізації пректно-технологічної діяльності на уроках трудового навчання в теорії і практиці сучасної школи
Актуальність дослідження теоретичних та методичних аспектів використання проектної технології на уроках трудового навчання в загальноосвітніх школах зумовлена тим, що в нових умовах соціаль ...

Використання співвідношень між величинами в процесі розв’язування складених задач
Аналіз методичної літератури та наявних підручників з математики для початкових класів дає підстави для висновку про те, що в процесі вивчення курсу математики І-ІV класів учні повинні навч ...