Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа .

Рекомендуємо почитати:

Організаційно підготовчий етап проектування виробу
На організаційно-підготовчому етапі проектування виробу слід передусім наголосити на історії створення таких витворів, їх аналогів тощо. Художня обробка дерева — найдавніший вид декоративно ...

Основні стадії розвитку колективу
У своєму розвитку колектив проходить три основні стадії (етапи). На першій стадії розвитку колектив характеризується такими ознаками: • він лише починає створюватись; • члени колективу недо ...

Використання води та повітря в якості допоміжної сировини в хімічній промисловості
1. Кисень (повітря) використовується під час горіння та інших окисних процесів. Частка Оксигену на Землі ~ 50 %. Атмосферний кисень становить від загальної кількості Оксигену — 0,013 %, або ...